Question

已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求此幾何體的體積的大小

 

Answer 1

【答案】

(1) 異面直線與所成的角的余弦值為．

(2) 二面角的的正弦值為．

(3)幾何體的體積為16．

【解析】

試題分析：(1) 先確定幾何體中的棱長, ，通過取的中點，連結，

則，∴或其補角即為異面直線與所成的角． 在中即可解得的余弦值.

(2) 因為二面角的棱為，可通過三垂線法找二面角，由已知平面，過作交于，連．可得平面，從而，∴為二面角的平面角．  在中可解得角的正弦值.

（3）該幾何體是以為頂點，為高的，為底的四棱錐，所以

此外也可以以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系來解答.

試題解析：（1）取的中點是，連結，

則，∴或其補角即為異面直線與所成的角．

在中，，．∴．

∴異面直線與所成的角的余弦值為．

（2）因為平面，過作交于，連．

可得平面，從而，

∴為二面角的平面角． 

在中，，，，

∴．∴．

∴二面角的的正弦值為．

（3），∴幾何體的體積為16．

方法2：（1）以為原點，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系．

則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）

，，∴，

∴異面直線與所成的角的余弦值為．

（2）平面的一個法向量為，設平面ADE的一個法向量為，

所以，，

則， ∴

從而，，

令，則，，

∴二面角的的正弦值為．

（3），∴幾何體的體積為16．

考點：1、三視圖還原幾何體的棱長；2、異面直線所成的角，二面角；3、四棱錐的體積；4、利用向量法解立體幾何問題.