Question

（本小題滿分13分）

已知函數．

（1）求證函數在區間上存在唯一的極值點，并用二分法求函數取得極值時相應的近似值（誤差不超過）；（參考數據，，）

（2）當時，若關于的不等式恒成立，試求實數的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ），   ∵  ，，

∴  ．                                 ……………………2分

令 ，則，     ……………………3分

∴  在區間上單調遞增，∴  在區間上存在唯一零點，

∴  在區間上存在唯一的極小值點．   …………………………………4分

取區間作為起始區間，用二分法逐次計算如下：

，而，∴  極值點所在區間是；

又，∴  極值點所在區間是；

③  ∵  ，∴  區間內任意一點即為所求．  ……7分

（Ⅱ）由，得，

即 ，∵  ，   ∴ ，……………………8分

令 ， 則．   ………………10分

令 ，則．

∵，∴，∴在上單調遞增，∴，

因此故在上單調遞增，         ……………………12分

則，∴  的取值范圍是………13分