Question

【題目】已知函數，若曲線在點處的切線與直線垂直.

（1）求的值；

（2）函數恰有兩個零點，求函數的單調區間及實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）依題意可知，切線的斜率為，即，由此解得；（2）先求得的表達式，，利用導數可求得的極小值，也即是最小值，只需最小值小于零就可以.由此求得取值范圍是.

試題解析：

（1）函數的定義域為.由，且，解得a=1.

（2）因為則 .

（ⅰ）當即時，，所以g（x）在上單調遞減此時只存在一個零點，不合題意.

（ⅱ）當m<1時，令，解得 .

當x變化時，g（x）與的變化情況如下表：

x	（0,）
	—	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

由題意可知，.

下面判斷極小值的正負。

設，m<1

（1）當m=0時，h（0）=0，即

此時g（x）恰有一個零點不合題意。

（2）當時，

當m<0時，； 當0<m<1時，

所以h（m）在上單調遞增，在（0,1）單調遞減。

所以h（m）<h（0）=0，此時g（x）恰有兩個零點。

綜上，m的取值范圍是.