Question

【題目】已知函數f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，

∴當﹣1≤x≤2時，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；

當x＞2時，3≥1恒成立，故x＞2；

綜上，不等式f（x）≥1的解集為{x|x≥1}

（2）解：原式等價于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，

即m≤[f（x）﹣x2+x]max，設g（x）=f（x）﹣x2+x．

由（1）知，g（x）= ，

當x≤﹣1時，g（x）=﹣x2+x﹣3，其開口向下，對稱軸方程為x= ＞﹣1，

∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；

當﹣1＜x＜2時，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其開口向下，對稱軸方程為x= ∈（﹣1，2），

∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ；

當x≥2時，g（x）=﹣x2+x+3，其開口向下，對稱軸方程為x= ＜2，

∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；

綜上，g（x）max= ，

∴m的取值范圍為（﹣∞， ]

【解析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2與x＞2兩類討論即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依題意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，設g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三類討論，可求得g（x）max= ，從而可得m的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)．