已知
分別是橢圓
的左、右頂點，點
在橢圓
上，且直線
與直線
的斜率之積為
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，已知
是橢圓上不同于頂點的兩點，直線
與
交于點
，直線
與
交于點
．① 求證：
；② 若弦
過橢圓的右焦點
，求直線
的方程．
（Ⅰ）
；（Ⅱ）①見解析；②
.
解析試題分析：（Ⅰ）根據點在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為，列出方程組即可求出
和
；（Ⅱ）①欲證：，只需證：
，找到這個結論成立的條件，然后證明這些條件滿足即可；②分成
和直線斜率存在兩種情況，利用
經過
這一條件，把問題變成直線與橢圓的交點，從而可以借助一元二次方程跟與系數的關系解題.
試題解析：（Ⅰ）由題，
，由點在橢圓上知
，則有：
，①
又
， ②
以上兩式可解得
，
．所以橢圓
． 4分
（Ⅱ）① 設
，則直線：
、直線：
，
兩式聯立消去
得：
；
同理：直線：
、：
，聯立得：
． 6分
欲證：，只需證：，只需證：
，
等價于：
，
而
，
，所以
，
故有：． 9分
② (1)當時，由
可求得：
； 10分
(2)當直線斜率存在時，設：
，
由（Ⅱ）知：
，
將
，
代入上式得：
，
解得
，由①知．
綜合(1) (1)，，故直線：． 14分.
考點：直線與橢圓的方程.
巧學巧練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
為橢圓
的左，右焦點，
為橢圓上的動點，且
的最大值為1，最小值為-2.
（I）求橢圓
的方程；
（II）過點
作不與
軸垂直的直線
交該橢圓于
兩點，
為橢圓的左頂點。試判斷
的大小是否為定值，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為：
（
為參數），在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點
為極點，以
軸正半軸為極軸）中,直線
的極坐標方程為：
．
（Ⅰ）寫出曲線和直線在直角坐標系下的方程；
（II）設點
是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
橢圓
的左、右焦點分別為F1(-1，0)，F2(1,0)，過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點.
（Ⅰ）若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若橢圓的離心率滿足
,0為坐標原點，求證
為鈍角.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，已知橢圓
：
的離心率
，且橢圓C上一點
到點Q
的距離最大值為4，過點
的直線交橢圓于點
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P為橢圓上一點，且滿足
（O為坐標原點），當
時，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系
中，橢圓
的右焦點為
，離心率為
．
分別過
，
的兩條弦
，
相交于點
（異于
，
兩點），且
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線
，
的斜率之和為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，已知橢圓
的左焦點為
，左、右頂點分別為
，上頂點為
，過
三點作圓
（Ⅰ）若線段
是圓的直徑，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若圓的圓心在直線
上，求橢圓的方程;
（Ⅲ）若直線
交（Ⅱ）中橢圓于
，交
軸于
，求
的最大值
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：
的長軸長為4，且過點
．
、
、
是橢圓上的三點，若
，點
為線段
的中點，
、
兩點的坐標分別為
、
，求證：
．
圓
動圓
與圓
外切并與圓
內切，圓心
.
是與圓
兩點，當圓
.