Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面是邊長為1的正方形，底面，且．

（1）若點、分別在棱、上，且，，求證：平面；

（2）若點在線段上，且三棱錐的體積為，試求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量數量積垂直關系坐標表示表示計算論證線線垂直，再根據線面垂直判定定理得結果；

（2）先利用向量求點面距，再根據體積公式列方程解得向量的坐標，最后根據向量的模的坐標公式求結果.

（1）以點為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標系．

則，，，，，

因為，，所以，，

則，，．

，，即垂直于平面中兩條相交直線，

所以平面．

（2），可設，

所以向量的坐標為，

平面的法向量為．

點到平面的距離．

中，，，，所以．

三棱錐的體積，所以．

此時向量的坐標為，，即線段的長為．