Question

已知BD⊥平面ABC，AE∥BD，△ABC是正三角形，AB＝BD＝2AE＝2.

（1）求證：平面CDE⊥平面BCD；

（2）求點A到平面CDE的距離；

（3）求平面CDE與平面ABC所成角的大小.

Answer 1

(Ⅰ) 略   (Ⅱ)   （Ⅲ）45°

解析:

（1）證明：取CD、BC的中點F、G，連EF、FG、AG　…

（1分）

∵FGBD，AEBD　∴AEFG　∴AGEF　………（2分）

∵△ABC為正三角形，G是BC的中點∴AG⊥BC∵BD⊥平面ABC，AG平面ABC

∴BD⊥AG∴AG⊥平面BCD　………（3分）

∴EF⊥平面BCD∵EF平面CDE∴平面CDE⊥平面BCD（4分）

（2）由（1）知AG∥平面CDE，則點G到平面CDE的距離為所求.　　……（5分）

過G作GH⊥CD于H，由于平面CDE⊥平面BCD，所以GH⊥平面CDE………（6分）

∵BD＝BC＝2，∠CBD＝90°，∴∠BCD＝45°∵GC＝BC＝1　∴GH＝

即點A到平面CDE的距離為　……（8分）

（3）延長BA與DE交于M點，連CM，過A作AN⊥CM于N，連EN，

則∠ENA為所求二面角的平面角.　　　　 …………（10分）

可知AM＝AC＝2，∠CAM＝120°

∴AN＝1　∵AE＝1　∴　∴

即所求的二面角的大小為45°　　　　　…………（12分）