Question

【題目】已知函數f（x）= 過點（1，e）．
（1）求y=f（x）的單調區間；
（2）當x＞0時，求 的最小值；
（3）試判斷方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m為常數）的根的個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）= 過點（1，e）．得e1+b=e，可得b=0，

∴f（x）= （x≠0），f′（x）= ，令f′（x）＞0，得x＞1，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＜0，

y=f（x）的單調增區間是[1，+∞），單調減區間是（﹣∞，0）．（0，1）

（2）解：設g（x）= = ，（x＞0），g′（x）= ，令g′（x）=0，解得x=2，

x∈（0，2）時，g′（x）＜0，x∈（2，+∞）時，g′（x）＞0，

∴g（x）在區間（0，2）上遞減，在（2，+∞）遞增，

∴ 的最小值為g（2）=

（3）解：方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m為常數）m= =g（x）

g′（x）= ，易知x＜0時，g′（x）＞0．

結合（2）可得函數g（x）在區間（0，2）上遞減，在（﹣∞，0），（2，+∞）遞增．

原問題轉化為y=m與y=g（x）交點個數，其圖象如下：

當m≤0時，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m為常數）的根的個數為0；

當0＜m＜ 時，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m為常數）的根的個數為1；

當m= 時，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m為常數）的根的個數為2；

當m 時，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m為常數）的根的個數為3；

【解析】（1）依題意得e1+b=e，可得b=0，即f（x）= （x≠0），求導數，求單調區間．（2）設g（x）= = ，（x＞0），g′（x）= ，利用導數求出單調區間，即可求最值．（3）方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m為常數）m= =g（x） 利用導數可得函數g（x）在區間（0，2）上遞減，在（﹣∞，0），（2，+∞）遞增．畫出圖象，結合圖象求解，
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．