Question

已知實數c＞0，命題p：關于x的不等式x+|x-2c|＞1對x∈R恒成立；命題q：函數f（x）=lg（cx²+2x+1）的定義域為R，若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，則實數c的取值范圍是

(

1

2

，1]

．

Answer 1

分析：先求命題p的等價命題，運用數形結合解決恒成立問題，得命題p即c＞

1

2

，再求命題q的等價命題，運用二次不等式解集性質，可得命題p即c＞1，最后由真值表判斷滿足題意的命題為
命題p、q一真一假，分別求c的取值范圍的交集，再求并集即可

解答：解：由命題p：關于x的不等式x+|x-2c|＞1對x∈R恒成立，可知|x-2c|＞1-x對x∈R恒成立，設f（x）=|x-2c|，g（x）=1-x，兩函數的圖象如圖
數形結合可知，要使f（x）的圖象總在g（x）的圖象上方，需2c＞1，即c＞

1

2

∵命題q：函數f（x）=lg（cx²+2x+1）的定義域為R，即cx²+2x+1＞0恒成立，需△=4-4c＜0，即c＞1
∵“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，∴命題p、q一真一假
若p真q假，則

c＞ 1 2 0＜c≤1

∴

1

2

＜c≤1
若p假q真，則

c＞1 0＜c≤ 1 2

∴c∈∅
綜上，實數c的取值范圍是

1

2

＜c≤1
故答案為(

1

2

，1]

點評：本題考察了復合命題真假的判斷，不等式恒成立問題的解法，解題時要熟記真值表，能熟練運用數形結合等方法解決恒成立問題