Question

【題目】已知橢圓的長軸長為，離心率為.

(1)求橢圓的方程；

(2)過動點的直線交軸于點，交橢圓于點，(在第一象限)，且是線段的中點.過點作軸的垂線交橢圓于另一點，延長交橢圓于點.

①設直線、的斜率分別為，證明為定值;

②求直線斜率取最小值時，直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）①詳見解析②

【解析】

(1) 利用長軸長為，離心率為分別求出的值，再求出的值，即可求出橢圓方程；(2) ① 設出的坐標，表示出直線的斜率，作比即可；②設出的坐標，分別求出的方程，聯立方程組，求出直線的斜率的解析式，根據不等式的性質計算出的最小值，再求出的值即可.

（1）由題意得：，

所以，，

故橢圓方程為.

（2）①設，（，），由，可得，

所以直線的斜率，直線的斜率

此時，所以為定值.

②設，，直線的方程為，直線的方程為.

聯立，整理得，

由，可得，

同理，.

所以，，

，

所以，

由，，可知，所以，當且僅當時取得等號.

由，，在橢圓：上得，

此時，即，

由得，，所以時，符合題意.

所以直線的斜率最小時，直線的方程為.