Question

已知m，t∈R，函數f （x）=（x-t）³+m．
（I）當t=1時，
（i）若f （1）=1，求函數f （x）的單調區間；
（ii）若關于x的不等式f （x）≥x³-1在區間[1，2]上有解，求m的取值范圍；
（Ⅱ）已知曲線y=f （x）在其圖象上的兩點A（x₁，f （x₁）），B（x₂，f （x₂）））（ x₁≠x₂）處的切線分別為l₁、l₂．若直線l₁與l₂平行，試探究點A與點B的關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（ i）因為f（1）=1，所以m=1，則f（x）=（x-1）³+1=x³-3x²+3x，而f'（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0恒成立，由此能求出函數f（x）的單調遞增區間．
（ ii）不等式f（x）≥x³-1在區間[1，2]上有解，等價于m不小于3x²-3x在區間[1，2]上的最小值，由x∈[1，2]時，3x2-3x=3(x-

1

2

)2-

3

4

∈[0，6]，能求出m的取值范圍．
（Ⅱ）因為f（x）=x³的對稱中心為（0，0），而f（x）=（x-t）³+m可以由f（x）=x³經平移得到，所以f（x）=（x-t）³+m的對稱中心為（t，m），故合情猜測，若直線l₁與l₂平行，則點A與點B關于點（t，m）對稱對猜想證明如下：
因為

f(x)=(x-t)3+m=x3-3tx2+3t2x-t3+m

所以f'（x）=3x²-6tx+3t²=3（x-t）²，所以，l₁，l₂的斜率分別為k1=3(x1-t)2，k2=3(x2-t)2．由此能夠證明直線l₁與l₂平行時，點A與點B關于點（t，m）對稱．

解答：解：（Ⅰ）（ i）因為f（1）=1，所以m=1，（1分）
則f（x）=（x-1）³+1=x³-3x²+3x，
而f'（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0恒成立，
所以函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞）． （4分）
（ ii）不等式f（x）≥x³-1在區間[1，2]上有解，
即不等式3x²-3x-m≤0在區間[1，2]上有解，
即不等式m≥3x²-3x在區間[1，2]上有解，
等價于m不小于3x²-3x在區間[1，2]上的最小值，（6分）
因為x∈[1，2]時，3x2-3x=3(x-

1

2

)2-

3

4

∈[0，6]，
所以m的取值范圍是[0，+∞）． （9分）
（Ⅱ）因為f（x）=x³的對稱中心為（0，0），
而f（x）=（x-t）³+m可以由f（x）=x³經平移得到，
所以f（x）=（x-t）³+m的對稱中心為（t，m），
故猜測，若直線l₁與l₂平行，則點A與點B關于點（t，m）對稱．（10分）
對猜想證明如下：
因為

f(x)=(x-t)3+m=x3-3tx2+3t2x-t3+m

所以f'（x）=3x²-6tx+3t²=3（x-t）²
所以，l₁，l₂的斜率分別為k1=3(x1-t)2，k2=3(x2-t)2．
又直線l₁與l₂平行，所以k₁=k₂，即(x1-t)2=(x2-t)2，
因為x₁≠x₂，
所以，x₁-t=-（x₂-t），（12分）
從而(x1-t)3=-(x2-t)3，
所以f(x1)+f(x2)=(x1-t)3+m+(x2-t)3+m=-(x2-t)3+m+(x2-t)3+m=2m．
又由上x₁+x₂=2t，
所以點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂）關于點（（t，m）對稱．
故直線l₁與l₂平行時，點A與點B關于點（t，m）對稱． （14分）

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．