Question

已知向量

a

=（sin x，cos x），

b

=（

3

cos x，cos x），且

b

≠0，定義函數f（x）=2

a

•

b

-1．
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）若

a

∥

b

，求tan x的值；
（3）若

a

⊥

b

，求x的最小正值．

Answer 1

分析：（1）把給出的向量的坐標代入數量積，然后化積得到函數f（x）的解析式，利用含有三角函數的復合函數的單調性求函數f（x）的單調增區間；
（2）利用向量共線的坐標表示得到關于x的三角函數式，直接求解可得tan x的值；
（3）利用向量垂直的坐標表示得到關于x的三角函數式，求出x的正切值后即可求得x的最小正值．

解答：解：（1）f（x）=2

a

•

b

-1
=2（

3

sin xcos x+cos2x）-1=

3

sin 2x+cos 2x=2sin（2x+

π

6

）．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

．∴單調增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）由

a

∥

b

，得sin xcos x-

3

cos2x=0，
∵b≠0，∴cos x≠0．∴tan x-

3

=0，∴tan x=

3

．
（3）由

a

⊥

b

，得

3

sin xcos x+cos2x=0，
∵b≠0，∴cos x≠0，∴tan x=-

3

3

故x的最小正值為：x=

5π

6

．

點評：本題考查向量的數量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了向量共線的坐標表示，考查計算能力，是基礎題．