Question

已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率．

(1)求橢圓C2的方程；

(2)設O為坐標原點，點A，B分別在橢圓C1和C2上，＝2，求直線AB的方程．

 

Answer 1

（1）＝1（2）y＝x或y＝－x

【解析】(1)由已知可設橢圓C2的方程為＝1(a>2)，

其離心率為，故＝，解得a＝4.故橢圓C2的方程為＝1.

(2)A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，

由＝2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設直線AB的方程為y＝kx.

將y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以.

將y＝kx代入＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以.

又由＝2，得，

∴，解得k＝±1.

故直線AB的方程為y＝x或y＝－x.