Question

已知函數f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x
（I）求f（x）的單調遞減區間；
（II） A、B、C是△ABC的三內角，其對應的三邊分別為a、b、c．若f（）=，=12，a=，且b＜c，求 b、c 的長．

Answer 1

解：（Ⅰ）f （x）=sin²x+2sincosx+cos²x-2sin²x=-sin²x+cos²x+sin2x
=sin2x+cos2x=sin（2x+），
令+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），解得+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），
∴f （x）的單調遞減區間為[+kπ，+kπ]（k∈Z）． …（6分）
（Ⅱ）f （）=sin（+）=，即sin（+）=，
∴+=或，即A=或（不符合題意，舍去）．
由=c•b•cosA=12和cosA=，得bc=24．①
∵a=，cosA==，
∴將bc=24代入，化簡并解之可得b²+c²=52．
∵b²+c²+2bc=（b+c）²=100，b＞0，c＞0，
∴b+c=10，②
聯解①②，解之得b=4、c=6或b=6、c=4
∵b＜c，∴b=6、c=4不合題意，舍去
可得 b、c 的長分別為4，6． …（12分）
分析：（I）將f（x）展開并運用二倍角的三角函數公式和輔助角公式化簡整理，可得f（x）=sin（2x+），再利用正弦函數單調區間的公式解關于x的不等式，即可得到f（x）的單調遞減區間；
（II）將代入（I）中的關系式，解出A=．根據=12列式，可得bc=24，再根據余弦定理結合配方解出b+c=10，由此即可解出b、c的長．
點評：本題給出三角函數關系式，求函數的單調減區間并解三角形ABC的b、c 的之長，著重考查了解三角形、三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．