Question

.在等比數列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又2是a₃與a₅的等比中項．設b_n=5-log₂a_n．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）已知數列{b_n}的前n項和為S_n，Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）根據等比數列的性質解出a₃=4，a₅=1，可得首項與公比，可得通項公式 an=16×(

1

2

)n-1=25-n，從而
得到 b_n 和Sn=

n(n+1)

2

．
（2）

1

S

n=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，用裂項法求得Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的值．

解答：解：（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，又a_n＞0，∴a₃+a₅=5，
又2為a₃與a₅的等比中項，∴a₃a₅=4．
而q∈（0，1），∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，∴q=

1

2

，a1=16，
∴通項公式 an=16×(

1

2

)n-1=25-n，b_n=5-log₂a_n=5-（5-n）=n，∴Sn=

n(n+1)

2

．
（2）

1

S

n=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

點評：本題考查等比數列的定義和性質，等比數列的通項公式，等比數列的前n項和公式，用裂項法對數列求和，求出
 an=16×(

1

2

)n-1=25-n，是解題的關鍵．