Question

對于函數，如果存在實數使得，那么稱為的生成函數．

       （1）下面給出兩組函數，是否分別為的生成函數？并說明理由；

第一組：；

第二組：；

       （2）設，生成函數．若不等式

在上有解，求實數的取值范圍；

       （3）設，取，生成函數圖像的最低點坐標為．若對于任意正實數且．試問是否存在最大的常數，使恒成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）① 設，即，

取，所以是的生成函數．………………………2分

② 設，即，

則，該方程組無解．所以不是的生成函數．…………4分

（2）   ………………………5分

，即，     ………………………6分

也即                  ………………………7分

因為，所以              ………………………8分

則                  ………………………9分

函數在上單調遞增，．故，．……10 分

（3）由題意，得，則

，解得，所以 ……………………12分

假設存在最大的常數，使恒成立．

于是設

=

令，則，即……………………………16分

設，．

設，

， ，所以在上單調遞減，

，故存在最大的常數…………………………………18分