Question

【題目】已知函數.

（1）若函數是奇函數，求實數的值；

（2）若關于的方程在區間上有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函數的解析式，由奇函數的定義得出，結合指數運算可求出實數的值；

（2）由（1）知，函數為奇函數且為減函數，由，得出，可得出關于的方程在區間上有解，構造函數，將問題轉化為二次函數在區間上有零點，結合二次函數零點分布求出實數的取值范圍.

（1），函數的定義域為，

由于函數是奇函數，則，即，

，因此，；

（2）是奇函數，

則方程等價為

，即，

則，

函數在定義域上是單調函數，在區間上有解，

即在區間上有解.

構造函數，.

①若函數在區間有且只有一個零點，

則或，解得或.

當時，，令，得，，不合乎題意；

當時，，令，得，，不合乎題意；

②若函數在區間有兩個零點，則，此時.

綜上所述，實數的取值范圍是.