Question

已知
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若關于x的方程f（x）-a=0恰有一個實數解，求實數a的取值范圍；
（3）已知數列，若不等式f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）時恒成立，求實數p的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當是常數，不是單調函數，在0≤x≤3上解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數的單調區間；
（2）由（1）知函數的最值，要使方程f（x）-a=0恰有一個實數解，表示直線y=a與函數f（x）的圖象有且只有一個交點，從而求出a的范圍；
（3）先求出時f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）的值，然后利用函數圖象與切線的位置關系證明f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤6027，最后求出x-ln（x-p）的最小值，時最小值大于等于6027即可．
解答：解：（1）當是常數，不是單調函數；
當0≤x≤3時，f（x）=，
令f'（x）＞0解得x∈（0，）
與f'（x）＜0解得x∈（，3）
∴f（x）的單調增區間是（0，）
f（x）的單調減區間是（，3）
（2）由（1）知，
則方程f（x）-a=0恰有一個實數解
表示直線y=a與函數f（x）的圖象有且只有一個交點
則＜a＜3，或a=
（3）時f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）=6027
f（x）=在x=處的切線為y=
則有成立
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤6027
設g（x）=x-ln（x-p），g'（x）＞0解得x＞p+1
g'（x）＜0解得p＜x＜p+1，∴g（x）的最小值為p+1
只需p+1≥6027
∴p的最小值為6026
點評：本題主要考查了分段函數的應用，以及數列與函數的綜合，同時考查了分析問題解決問題的能力，屬于難題．