Question

【題目】已知：定義在上的函數的極大值為.

（1）求實數的值；

（2）若關于的不等式有且只有一個整數解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】

（1）先求出的導數，分析單調性，根據極大值為，對應的導數為0，求出的值；

（2）根據（1）得出函數的單調性，可以作出函數的圖象，再根據條件有，或，然后根據圖象找條件求出的范圍；

（1）函數的定義域為，

，

∵方程的，

故方程有兩個不相等的實數根，設，

則，

則當時，；當時，，

故在單調遞減，在單調遞增，

由于數的極大值為，可得，

即，解得；

（2）又（1）可得，，

故當時，；當時，；當時，，

又在單調遞減，在單調遞增，

由于，

，

函數的大致圖象如下：

由不等式有且只有一個整數解；

則 或有且只有一個整數解；

故或，即或，

∴或，

故實數的取值范圍為.