Question

已知函數f(x)=

2x-1

x

，其定義域為{x|x≠0}，
（1）用單調性的定義證明函數f（x）在（0，+∞）上為單調增函數；
（2）利用所得到（1）的結論，求函數f（x）在[1，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）用單調性的定義證明函數f（x）的單調性，步驟是取值，作差，判正負，下結論；
（2）根據單調性求出函數f（x）在閉區間上的最值．

解答：解：（1）證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

x1

-

2x2-1

x2

=

x1-x2

x1x2

；
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0；
又∵x₁＞0，x₂＞0，∴x₁x₂＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f(x)=

2x-1

x

在（0，+∞）上是增函數．
（2）∵f(x)=

2x-1

x

在（0，+∞）上是增函數，
∴f（x）在[1，2]上是增函數；
f（x）在[1，2]上的最大值是f（x）_max=f（2）=

2×2-1

2

=

3

2

，
最小值是f（x）_min=f（1）=

2×1-1

1

=1．

點評：本題考查了用定義判定函數的單調性以及根據單調性求函數在閉區間上的最值問題，是基礎題．