Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，（x∈R）在任意一點（x，f（x））處的切線的斜率為k=（x-2）（x+1）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）若y=f（x）在-3≤x≤2上的最小值為，求y=f（x）在R上的極大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f′（x）=3ax²+2bx+c和f（x）在（x，f（x））處的切線斜率k=（x-2）（x+1），能求出求a，b，c的值．
（2）由f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1），能求出函數f（x）的單調區間．
（3）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，列表能求出函數f（x）在R上的極大值．
解答：解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，（1分）
而f（x）在（x，f（x））處的切線斜率k=f′（x）=3ax²+2bx+c=（x-2）（x+1），
∴3a=1，2b=-1，c=-2，
∴a=，b=-，c=-2．（3分）
（2）∵f（x）=，
由f′（x）=x²-x-2
=（x-2）（x+1）≥0，
知f（x）在（-∞，-1]和[2，+∞）上是增函數，
由f′（x）=（x-2）（x+1）≤0，
知f（x）在[-1，2]上為減函數．（7分）
（3）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，可列表

x	[-3，-1）	-1	（-1，2]
f′（x）	+		-
f（x）	↑	極大值	↓

f（x）在[-3，2]上的最小值產生于f（-3）和f（2），
由f（-3）=-，f（2）=，
知f（-3）＜f（2），（9分）
于是f（-3）=-，
則d=10．（11分）
∴f（x）_max=f（-1）=，
即所求函數f（x）在R上的極大值為．（12分）
點評：本題考查函數的切線方程、單調區間和極值，綜合性強，難度大，計算繁瑣，容易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的性質的靈活運用．