Question

設f（x）是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x=1對稱，對任意x₁，x₂∈［0，］，都有f（x₁＋x₂）=f（x₁）·f（x₂），且f（1）=a＞0.

（1）求f（）及f（）；

（2）證明f（x）是周期函數；

（3）a_n=f（2n＋），求（lna_n）.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）∵x1，x2∈［0，］都有f（x1＋x2）=f（x1）·f（x2）， ∴f（x）=f（）f（）≥0，x∈［0，1］ f（1）=f（+）=f（）·f（）=［f（）］2 f（）=f（+）=f（）·f（）=[f（）]2，f（1）=a＞0， ∴． （2）證明：依題設y=f（x）關于直線x=1對稱， ∴f（x）=（1+1－x），f（x）=f（2－x） 又∵f（－x）=f（x），∴f（－x）=f（2－x），∴f（x）=f（2+x）， ∴f（x）是R上的周期函數，且2是它的一個周期． （3）∵x∈［0，］滿足f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），I=2n（n∈Z） ∴f（x1＋2n+x2＋2n）=f（x1＋2n）·f（x2＋2n）， ∵x1，x2在［2n，＋2n］中也滿足f（x1＋x2）=f（x1）·f（x2） 又∵f（1）=f（1）·f（0），∴f（0）=1，∴f（2n）=1 又∵f（）=f2（），又∵f（）=a，∴f（）=a ∴an=f（2n）f（）=a，∴