Question

【題目】設，函數.

（I）證明：當時，對任意實數，直線總是曲線的切線；

（Ⅱ）若存在實數，使得對任意且，都有，求實數的最小值.

Answer 1

【答案】（I）見證明；（Ⅱ）-1

【解析】

（I）將代入函數解析式，再對函數求導，由與的值，即可證明結論；

（Ⅱ）若存在實數，使得對任意且，都有等價于存在實數，使得對任意，都有，且對任意，都有，再由，得，進而可求出結果.

易得的導數.

（I）證明：此時，.

注意到對任意實數，，，

故直線是曲線在原點處的切線；

（Ⅱ）由題意，存在實數，使得對任意，都有，且對任意，都有.

因，故（否則，若，則在的左右附近，恒有，

從而單調遞減，不合題意）.

于是，因此.

又當，時，（等號成立當且僅當），

于是在內單調遞增，滿足題意.

所以的最小值為.