Question

已知二次函數f（x）對任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）恒成立，設向量

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（cos2x，1），

d

=（1，2），當x∈[0，π]時，求不等式f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集．

Answer 1

分析：由f（x）對任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立得其對稱軸，結合二次項系數的符號可得其單調性
通過計算

a

•

b

，

c

•

d

，從而確定它們所在的單調區間，由此解得x的范圍．

解答：解：設f（x）的二次項系數為m，m≠0，
設其圖象上兩點為（1-x，y₁）、B（1+x，y₂）
因為

(1-x)+(1+x)

2

=1，f（1-x）=f（1+x），
所以y₁=y₂，由x的任意性得f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
若m＞0，則x≥1時，f（x）是增函數，若m＜0，則x≥1時，f（x）是減函數．
∵

a

•

b

=（sinx，2）•（2sinx，

1

2

）=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=（cos2x，1）•（1，2）=cos2x+2≥1，
∴①當m＞0時，f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）?f（2sin²x+1）＞f（cos2x+1）
∴2sin²x+1＞cos2x+2
∴1-cos2x+1＞cos2x+2
∴2cos2x＜0∴cos2x＜0∴2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+

3

2

π，k∈Z．
∵0≤x≤π，∴

π

4

＜x＜

3

4

π．
②當m＜0時，同理可得0≤x＜

π

4

＜或

3

4

π＜x≤π．
綜上：f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集是：
當m＞0時，為{x|

π

4

＜x＜

3

4

π}；
當m＜0時，為{x|0≤x＜

π

4

，或

3

4

π＜x≤π}．

點評：本題是個中檔題，主要考查二次函數的性質，同時考查了向量的數量積運算和三角恒等變換，解三角不等式．注意分類討論的思想的應用．