Question

【題目】己知函數.(是常數，且（)

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）當在處取得極值時，若關于的方程在上恰有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）求證:當時.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）減區間為，增區間為.；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）先對函數求導，再分別解與，即可得函數的單調區間；（Ⅱ）根據在處取得極值，可得，再設，利用導數研究函數的單調性，根據關于的方程在上恰有兩個不相等的實數根，可得，解不等式即可得出實數的取值范圍；（Ⅲ）根據（Ⅰ）和（Ⅱ）可知當時，即，令，對進行放縮，即可證明.

詳解：（Ⅰ）由已知比函數的定義域為,

由得，由,得.

所以函數的減區間為，增區間為..

（Ⅱ）由題意，得.

∴

∴

∴,即.

∴,

設，則.

當變化時，的變化情況如下表:

			1		2
	0	-	0	+

∵方程在上恰有兩個不相等的實數根

∴

∴

∴即.

（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）可知當時，即，

∴當時，，

令時，，即.

∴.