Question

已知函數f(x)＝2ax－－(2＋a)lnx(a≥0).
（1）當a＝0時，求f(x)的極值；
（2）當a＞0時，討論f(x)的單調性；
（3）若對任意的a∈(2,3)，x­₁,x₂∈[1,3]，恒有(m－ln3)a－2ln3＞|f(x₁)－f(x­₂)|成立，求實數m的取值范圍。

Answer 1

(1)的極大值為，無極小值.(3)

試題分析：(1)求已知函數的極值,利用導數法,即求定義域,求導,求導數為0與單調區間，判斷極值點求出極值. (2) 求定義域,求導.利用數形結合思想討論導數(含參數二次不等式)的符號求f(x)的單調區間,討論二次含參數不等式注意按照定性(二次項系數是否為0),開口,判別式，兩根大小得順序依次進行討論,進而得到函數f(x)的單調性(注意單調區間為定義域的子集)(3)這是一個恒成立問題，只需要(m－ln3)a－2ln3＞(|f(x₁)－f(x­₂)|),故求解確定|f(x₁)－f(x­₂)|最大值很關鍵,分析可以發現(|f(x₁)－f(x­₂)|)=,故可以利用第二問單調性來求得函數的最值進而得到(|f(x₁)－f(x­₂)|). (m－ln3)a－2ln3＞(|f(x₁)－f(x­₂)|)對于任意的a∈(2, 3)恒成立,則也是一個恒成立問題,可以采用分離參數法就可以求的m的取值范圍.
試題解析：（1）當時，,由,解得 ，可知在上是增函數，在上是減函數.
∴的極大值為，無極小值.

①當時，在和上是增函數，在上是減函數；
②當時，在上是增函數；
③當時，在和上是增函數，在上是減函數  8分
（3）當時，由（2）可知在上是增函數，
∴.
由對任意的a∈(2, 3)，x­₁, x₂∈[1, 3]恒成立，
∴
即對任意恒成立，
即對任意恒成立，由于當時，，∴.