Question

設函數，其中a∈R，m是給定的正整數，且m≥2，如果不等式f（x）＜（x-2）lgm在區間[1，+∞）上恒成立，則實數a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：依據題意利用函數解析式，結合題設不等式求得1-a＞（ ）^x+（ ）^x+…+（ ）^x，記為g（x）．根據m的范圍，判斷出g（x）在[1，+∞）上單調遞減，進而求得函數g（x）的最大值，利用g（x）_max＜1-a求得a范圍即可．
解答：解：f（x）=lg ＜（x-2）lgm=lgm^x-2，
∴＜m^x-2．
∴1-a＞（ ）^x+（ ）^x+…+（ ）^x=g（x）．
∵，，…，∈（0，1），
∴g（x）在[1，+∞）上單調遞減．
∴g（x）_max=f（1）=++…+=．
由題意知，1-a＞，
∴a＜．
故答案為：．
點評：本題給出對數型函數，求一個不等式在區間上恒成立的參數a的取值范圍，著重考查了指數函數和對數函數的單調性，考查了學生對基本初等函數的掌握，屬于中檔題．