Question

分別以雙曲線的焦點為頂點，以雙曲線G的頂點為焦點作橢圓C。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設點P的坐標為，在y軸上是否存在定點M，過點M且斜率為k的動直線 交橢圓于A、B兩點，使以AB為直徑的圓恒過點P，若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）雙曲線的焦點為（），頂點為（），所以所求橢圓方程為                        ....................5分

（Ⅱ）假設存在,過點M且斜率為k的動直線 交橢圓于A、B兩點，使以AB為直徑的圓恒過點P ,AB方程為y=kx+,代入方程，消去y得，       ....................7分

設A（）,B()則

=，=           ....................9分

=+3（）+9

      =+（k）(k))

      =()+( )+

      =()+ k(a-3) +

由，得17，即（17+24）(3)=0..............12分

=3(舍)，=故M點的坐標存在，M的坐標為（0，）................13分