Question

（2009•溫州一模）已知函數f(x)=

loga(x+1)+2  (x≥0) (a-1)•x+a2  (x＜0)

，（a＞0且a≠1）在R上是增函數，則a的取值范圍是

(1，

2

]

．

Answer 1

分析：根據題意，首先要保證分段函數的兩段上的表達式都要是增函數，因此a＞1，其次在兩段圖象的端點處必須要體現是增加的，因此得到在x=0處函數對應的第一個表達式的值要小于或等于第二個表達式的值列式得出a²≤2，兩者相結合可以得出a的取值范圍．

解答：解：首先，y=log_a（x+1）+2在區間（0，+∞）上是增函數
且函數y=（a-1）x+a²區間（-∞，0）上也是增函數
∴a＞1…（1）
其次在x=0處函數對應的第一個表達式的值要小于或等于第二個表達式的值，即
（a-1）•0+a²≤log_a（0+1）+2⇒a²≤2…（2）
聯解（1）、（2）得1＜a≤

2

 
故答案為：(1，

2

]

點評：本題著重考查了函數的單調性的應用和對數型函數的單調性的知識點，屬于中檔題．本題的易錯點在于只注意到兩段圖象的單調增，而忽視了圖象的接頭點處的縱坐標大小的比較，請同學們注意這點．