Question

已知某探照燈的軸截面是拋物線y²=x，如圖所示，表示平行于對稱軸y=0（即x軸）的光線與拋物線上的點P、Q的反射情況，設點P的縱坐標為a(a＞0)，a取何值時，從入射點P到反射點Q的光線路程PQ最短?

Answer 1

思路解析：由拋物線的光學性質，光源置于拋物鏡面的焦點處，光經拋物面反射成一束射出，因此，入射光線與反射光線成平行狀態，那么光線PQ必經過拋物線的焦點.

解：由題設知點P的坐標為(a²，a)，故直線PQ的方程為：

y=(x-),即4ax-(4a²-1)y-a=0.

解方程組得y₁=-,y₁=a（舍去）,∴x=.

∴點Q的坐標為(，-).∴|PQ|=|PF|+|FQ|=a²++.

要求由入射點P到反射點Q的路程最小時的參數a的值，利用均值不等式，有|PQ|=(a²+)+≥2+=1.當且僅當a²=，即a=時，上式等號成立.∴ 入射點P(,),反射點Q(，-)時，路程PQ最短，這時P、Q恰關于x軸對稱.