Question

設正整數數列{a_n}滿足：a₂=4，且對于任何n∈N^*，有2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

；
（1）求a₁，a₃；
（2）求數列{a_n}的通項a_n．

Answer 1

分析：（1）令n=1，根據2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

可得到

2

3

＜a1＜

8

7

，再由a₁為正整數可得到a₁的值，當n=2時同樣根據2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

可得到2+

1

a3

＜6(

1

4

 +

1

a3

)＜2+

1

4

進而可得到a₃的范圍，最后根據數列{a_n}是正整數數列求出a₃的值．
（2）先根據a₁=1，a₂=4，a₃=9可猜想a_n=n²，再用數學歸納法證明．

解答：解：（1）據條件得2+

1

an+1

＜n(n+1)(

1

an

+

1

an+1

)＜2+

1

an

①
當n=1時，由2+

1

a2

＜2(

1

a1

+

1

a2

)＜2+

1

a1

，即有2+

1

4

＜

2

a1

+

2

4

＜2+

1

a1

，
解得

2

3

＜a1＜

8

7

．因為a₁為正整數，故a₁=1．
當n=2時，由2+

1

a3

＜6(

1

4

 +

1

a3

)＜2+

1

4

，解得8＜a₃＜10，所以a₃=9．
（2）由a₁=1，a₂=4，a₃=9，猜想：a_n=n²．
下面用數學歸納法證明．
①當n=1，2時，由（1）知a_n=n²均成立；
②假設n=k（k≥2）成立，則a_k=k²，則n=k+1時
由（1）得2+

1

ak+1

＜k(k+1)(

1

k2

+

1

ak+1

)＜2+

1

k2

∴

k3(k+1)

k2-k+1

＜ak+1＜

k(k2+k-1)

k-1

(k3+1-1)(k+1)2

k3+1

＜ak+1＜

k[(k2+k)2-1]

k3-1

，
即

(k3+1-1)(k+1)2

k3+1

＜ak+1＜

k3(k+1)2-k

k3-1

∴(k+1)2-

(k+1)2

k3+1

＜ak+1＜(k+1)2+

1

k-1

因為k≥2時，（k³+1）-（k+1）²=k（k+1）（k-2）≥0，所以

(k+1)2

k3+1

∈(0，1]．
k-1≥1，所以

1

k-1

∈(0，1]．又a_k+1∈N^*，所以（k+1）²≤a_k+1≤（k+1）²．
故a_k+1=（k+1）²，即n=k+1時，a_n=n²成立．由1°，2°知，對任意n∈N^*，
a_n=n²．

點評：本題主要考查根據條件求數列的項和求數列的通項公式．先猜想數列的通項公式再由數學歸納法證明來求數列的通項公式的方法是高考的一個重要考點，要熟練掌握．