Question

對于數列，若滿足，則稱數列為“0-1數列”.定義變換，將“0-1數列”中原有的每個1都變成0，1，原有的每個0都變成1，0. 例如:1,0,1，則設是“0-1數列”，令
.
(Ⅰ) 若數列：求數列；
(Ⅱ) 若數列共有10項，則數列中連續兩項相等的數對至少有多少對？請說明理由；
(Ⅲ)若為0，1，記數列中連續兩項都是0的數對個數為，.求關于的表達式.

Answer 1

解：(Ⅰ)由變換的定義可得    …………………………2分
                            ………………………………4分
(Ⅱ) 數列中連續兩項相等的數對至少有10對  ………………………………5分
證明：對于任意一個“0-1數列”，中每一個1在中對應連續四項1,0,0,1，在中每一個0在中對應的連續四項為0,1,1,0，
因此，共有10項的“0-1數列”中的每一個項在中都會對應一個連續相等的數對，
所以中至少有10對連續相等的數對.   ……………………………8分
(Ⅲ) 設中有個01數對，
中的00數對只能由中的01數對得到，所以，
中的01數對有兩個產生途徑：①由中的1得到； ②由中00得到，
由變換的定義及可得中0和1的個數總相等，且共有個，
所以，
所以，
由可得，
所以，
當時，
若為偶數，



上述各式相加可得，
經檢驗，時，也滿足
若為奇數，



上述各式相加可得，
經檢驗，時，也滿足
所以…………………………………………..13分

解析