Question

甲、乙、丙三人進行乒乓球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判．設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果相互獨立，第1局甲當裁判．

（1）求第4局甲當裁判的概率；

（2）用X表示前4局中乙當裁判的次數，求X的分布列和數學期望．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）根據題意，甲第一局當裁判，則第二局一定是參加比賽，第四局當裁判，說明第三局繼續參加比賽，所以，甲參加了第二、三兩局的比賽，且第二局勝，第三局負.

（2）根據題意，在四局比賽中，乙參賽的情況與比賽結果可用下表表示五種情況：

	第一局	第二局	第三局	第四局	當裁判次數
1	參賽（勝）	參賽（勝）	參賽（勝）	參賽	0
2	參賽（勝）	參賽（勝）	參賽（負）	裁判	1
3	參賽（勝）	參賽（負）	裁判	參賽	1
4	參賽（負）	裁判	參賽（勝）	參賽	1
5	參賽（負）	裁判	參賽（負）	裁判	2

由此明確的所有可能的值，以及對應每個取值的含義，求出的分布列，進而求出的值.

試題解析：（1）記A1表示事件“第2局結果為甲勝”，

A2表示事件“第3局甲參加比賽時，結果為甲負”，

A表示事件“第4局甲當裁判”．

則A＝A1·A2．

P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝． 4分

（2）X的可能取值為0，1，2．

記A3表示事件“第3局乙和丙比賽時，結果為乙勝丙”，

B1表示事件“第1局結果為乙勝丙”，

B2表示事件“第2局乙和甲比賽時，結果為乙勝甲”，

B3表示事件“第3局乙參加比賽時，結果為乙負”．

則P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，

P(X＝2)＝P(B1·B3)＝P(B1)P(B3)＝，

P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝．

∴X的分布列為

X	0	1	2
P

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝． 12分

考點：1、獨立重復試驗.2、離散型隨機變量的分布列與數學期望.