Question

設x1、x2是函數f(x)＝x3＋x2－a2x(a＞0)的兩個極值點，且｜x1｜＋｜x2｜＝2． (1) 證明：｜b｜≤ (2) 若函數h(x)＝(x)－2a(x－x1)，證明：當x1＜x＜2且x1＜0時，｜h(x)｜≤4a．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：(x)=ax2＋bx－a2∵x1、x2是f(x)的兩個極值點，∴x1、x2是方程(x)=0的兩實數根． 　　∵a＞0，∴x1x2=－a＜0，x1十x2=－， 　　∴｜x1｜＋｜x2｜=｜x1－x2｜= 　　∵｜x1｜＋｜x2｜=2，∴＋4a=4，即b2=4a2－4a3．∵b2≥0，∴0＜a≤1． 　　設g(a)=4a2－4a3，則(a)=8a－12a2=4a(2－3a)． 　　由(a)＞00＜a＜，(a)＜0＜a≤1，得g(a)在區間上是增函數，在區間上是減函數， 　　∴g(a)max=g=∴｜b｜≤． 　　分析：①根據導函數方程的特征，把已知條件轉化為b關于a的函數，同時求出定義域；②利用導數把所證轉化為求函數值域． 　　點評：證明參數的取值范圍．可考慮轉化為求函數的值域
(2)	∵x1、x2是方程(x)=0的兩個實數根，∴(x)=a(x－x1)(x－x2)． 　　∴h(x)=a(x－x1)(x－x2)－2a(x－x1)=a(x－x1)(x－x2－2)， 　　∴｜h(x)｜=a｜x－x1｜｜x－x2－2｜≤a2． 　　∵x＞x1，∴｜x－x1｜=x－x1．又x1＜0，x1x2＜0，∴x2＞0． 　　∵x＜2，∴x－x2－2＜0，∴｜x－x2－2｜=x2＋2－x 　　∴｜x－x1｜＋｜x－x2－2｜=x2－x1＋2=4． 　　∴｜h(x)｜≤4a． 　　分析：①把導數關于極值點的表達式代入所給函數；②對函數式變形，利用均值不等式得證． 　　點評：當所證不等式與極值點相關時，可考慮利用導函數關于極值點的表達式，根據相關不等式的知識給出證明．