Question

【題目】在正四面體P﹣ABC中，點M是棱PC的中點，點N是線段AB上一動點，且 ，設異面直線 NM 與 AC 所成角為α，當 時，則cosα的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[ , ]
【解析】解：設P到平面ABC的射影為點O，取BC中點D，

以O為原點，在平面ABC中，以過O作DB的平行線為x軸，

以OD為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，

設正四面體P﹣ABC的棱長為4 ，

則A（0，﹣4，0），B（2 ，2，0），C（﹣2 ，2，2 ），P（0，0，4 ），M（﹣ ，1，2 ），

由 ，得N（ ），

∴ =（﹣ ，5﹣6λ，2 ）， =（﹣2 ，6，0），

∵異面直線 NM 與 AC 所成角為α， ，

∴cosα= = ，設3﹣2λ=t，則 ，

∴cosα= = ，

∵ ，

∴ ．

∴cosα的取值范圍是[ ， ]．

所以答案是：[ ， ]．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關知識，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系．