Question

已知函數f（x）=ax²+bx+c中，a+b+c=0，a>b>c。
（Ⅰ）證明函數f（x）有兩個不同的零點；
（Ⅱ）若存在x∈R，使ax²+bx+a+c=0成立。
①試判斷f（x+3）的符號，并說明理由；
②當b≠0時，證明關于x的方程ax²+bx+a+c=0在區間（，0）和（0，1）內各有一個實根。

Answer 1

解：因為a+b+c=0，a>b>c，
所以b=-a-c，a>0，c＜0；
（Ⅰ）證明：因為二次方程f（x）=0的根的判別式，
△=b²-4ac=（-a-c）²-4ac=（a-c）²，
由a>c，得△=（a-c）²>0，
故方程f（x）=0有兩個不同的實根，即函數f（x）有兩個不同的零點；
（Ⅱ）由ax²+bx+a+c=0，得f（x）=-a，
①函數f（x）的圖象為開口向上的拋物線，
由f（x）=-a＜0，知實數x介于方程f（x）=0的 兩根之間，
由于f（1）=a+b+c=0，則1是方程f（x）=0的一個根，
又由根與系數的關系，得另一個根為，
由a+b+c=0，a>b，得a>-a-c
所以a>，即>-2
故x+3>+3>-2+3=1
因此f（x+3）為正，
②令g（x）=ax²+bx+a+c，則g（x）=f（x）+a，
所以，g（）=f（）+a=a>0，
g（1）=f（1）+a>0
因為二次方程ax²+bx+a+c=0有實數根，所以
△=b²-4a（a+c）=（-a-c）²-4a（a+c）
=-3a²-2ac+c²≥0，
即（3a-c）（a+c）≤0，
解得
又a>0，且b=-（a+c）≠0，
所以0＜a＜-c，
所以a+c＜0，
故g（0）=f（0）+a=a+c＜0，
因此，關于x的方程ax²+bx+a+c=0在區間和（0，1）內各有一個實根。