Question

【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）的離心率為 ，右焦點與拋物線y2=4x的焦點F重合．
（1）求橢圓的方程；
（2）過F的直線l交橢圓于A、B兩點，橢圓的左焦點力F'，求△AF'B的面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意，得F（1，0），∴c=1，

又 ，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，

∴橢圓的方程為：

（2）解：顯然l的斜率不為0，設l：x=my+1，

聯立直線l與橢圓方程 ，化簡，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則△＞0恒成立，

由韋達定理，得y1+y2= ，y1y2= ，

∴ =

=|y1﹣y2|

=

=

= ，

令t= ，t≥1，則m2=t2﹣1，

∴ = = ，

令 （t≥1），則 = ＞0，

∴u（t）在[1，+∞）上單調遞增，

∴當t=1即m=0時，umin（t）=u（1）=4，（ ）max=3，

故當m=0時，△AF'B的面積的最大值為3

【解析】（1）根據題意得F（1，0），即c=1，再通過 及c2=a2﹣b2計算可得橢圓的方程；（2）由題設l：x=my+1，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯立直線l與橢圓方程，結合韋達定理，得 = ，利用換元法計算即可．