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已知圓O：x2+y2=1，直線l:y=(x+4).

（1）設圓O與x軸的兩交點是F1,F2，若從F1發出的光線經l上的點M反射后過點F2，求以F1,F2為焦點且經過點M的橢圓方程.

（2）點P是x軸負半軸上一點，從點P發出的光線經l反射后與圓O相切.若光線從射出經反射到相切經過的路程最短，求點P的坐標.

解:(1)如圖，由光學幾何知識可知，點F1關于l的對稱點F1′在過點A(-4,0)且傾斜角為60°的直線l′上.在△AF2F1′中，橢圓長軸長2a=MF1+MF2=F1′F2=，

又橢圓的半焦距c=1，∴b2=a2-c2=.

∴所求橢圓的方程為=1.

(2)路程最短即為l′上的點P′到圓O的切線長最短，由幾何知識可知，P′應為過原點O且與l垂直的直線與l′的交點，這一點又與點P關于l對稱，∴AP=AP′=2.故點P的坐標為(-2,0).


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為
2
2
的橢圓，其左焦點為F．若P是圓O上一點，連接PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的左準線于點Q．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若點P的坐標為（1，1），求證：直線PQ與圓O相切；
（3）試探究：當點P在圓O上運動時（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關系？若是，請證明；若不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知圓o：x2+y2=b2與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)有一個公共點A（0，1），F為橢圓的左焦點，直線AF被圓所截得的弦長為1．
（1）求橢圓方程．
（2）圓o與x軸的兩個交點為C、D，B（ x0，y0）是橢圓上異于點A的一個動點，在線段CD上是否存在點T（t，0），使|BT|=|AT|，若存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=9，定點 A（6，0），直線l：3x-4y-25=0
（1）若P為圓O上動點，求線段PA的中點M的軌跡方程
（2）設E、F分別是圓O和直線l上任意一點，求線段EF的最小值．

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（2012•廣州一模）已知圓O：x2+y2=r2，點P（a，b）（ab≠0）是圓O內一點，過點P的圓O的最短弦所在的直線為l1，直線l2的方程為ax+by+r2=0，那么（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=1，點P在直線x=
3
上，O為坐標原點，若圓O上存在點Q，使∠OPQ=30°，則點P的縱坐標y0的取值范圍是（　�。�

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