Question

如圖所示，已知動直線經過點P(4，0)交拋物線于A、B兩點．

(1)以AP為直徑作圓C，當圓心C到拋物線的準線的距離為多少時，圓的面積為7?

(2)是否存在垂直于軸的直線被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值?若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(1)設A₁()，P(4，0)．∴，

    ∴，從而|PA|=．

    即．

    解得或 (舍去)，A點的橫坐標為6．

    ∴C點的橫坐標為．

    此時圓心C到準線的距離是6．

    ∴當圓心C到準線的距離是6時，圓C的面積為．

(2)假設存在直線：滿足題意，設交圓C于D，E兩點，DE的中點為H，

設A()，|DC|=|AP|=，

    而C()．

    ∴|CH|=

    |DH| ²=|CD|²－|CH|²

        =

        =．

    ∴當=3時，|DH|²是與無關的常數．

    故存在直線=3被以AP為直徑的動圓截得的弦長為定值．