Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，已知曲線，以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線．

（1）將曲線上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的倍后得到曲線．試寫出直線的直角坐標方程和曲線的參數方程：

（2）在曲線上求一點，使點到直線的距離最大，并求出此最大值．

Answer 1

【答案】（1），（為參數）（2）點，最大值為

【解析】

試題分析：（1）根據將直線極坐標方程化為直角坐標方程，根據圖像伸縮變換得曲線的直角坐標方程，再根據橢圓參數方程得曲線的參數方程（為參數）（2）根據點到直線距離公式得點到直線的距離為

利用配角公式得，再根據正弦函數性質得最值及對應自變量的取值

試題解析：（1）由題意知，直線的直角坐標方程為：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∵曲線的直角坐標方程為：，

∴曲線的參數方程為：（為參數）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）設點的坐標，則點到直線的距離為：

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴當時，點，此時．．．．．．．．．．．．．．．10分