Question

【題目】已知函數.

（1）當時，證明：；

（2）若在有且只有一個零點，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）構造函數，利用導數可得其最小值大于等于，進而得證；

（2）構造函數，，，，則函數與的圖象在上有且僅有一個交點，分類討論即可得出結論.

（1）當時，，

令，則，

當時，，當時，，

所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

所以，函數在處取得極小值，亦即最小值，即，

故，即，即得證；

（2）依題意，方程在上只有一個解，

記，，，，則函數與的圖象在上有且僅有一個交點，

又在上恒成立，故函數在上單調遞增，

（i）當時，函數在單調遞增，在單調遞減，

且，，，如圖，

顯然，此時滿足函數與的圖象在上有且僅有一個交點，符合題意；

（ii）當時，，顯然在上有且僅有一個零點，符合題意；

（iii）當時，函數在單調遞減，在單調遞增，且，，，如圖，

要使函數與的圖象在上有且僅有一個交點，只需，即，即，又，故.

綜上，實數的取值范圍為.