Question

甲、乙兩人參加一次交通知識考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題．規定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格．
（Ⅰ）求甲、乙兩人考試均合格的概率；
（Ⅱ）求甲答對試題數ξ的概率分布及數學期望．

Answer 1

分析：（I）甲、乙兩人考試均合格表示兩個人同時合格，兩個人都合格是相互獨立的，做出兩個人分別合格的概率，利用相互獨立事件同時發生的概率得到結果．
（II）甲答對試題數ξ依題意知ξ=0，1，2，3，結合變量對應的事件和等可能事件的概率公式，得到變量的概率，寫出分布列．做出期望值．

解答：解：（Ⅰ）設甲、乙兩人參加交通知識考試合格的事件分別為A、B
P（A）=

C 2 6 C 1 4 + C 3 6

C 3 10

=

60+20

120

=

2

3

，
P（B）=

C 2 8 C 1 2 + C 3 8

C 3 10

=

56+56

120

=

14

15

．
∵事件A、B相互獨立，
∴甲、乙兩人考試均合格的概率為P(A•B)=

2

3

×

14

15

=

28

45

．
即甲、乙兩人考試均合格的概率為

28

45

．
（Ⅱ）甲答對試題數ξ依題意知ξ=0，1，2，3，
p(ξ=0)=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

，
P(ξ=1)=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，
P(ξ=2)=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

，
P(ξ=3)=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

．
∴ξ的分布列如下：

∴甲答對試題數ξ的數學期望Eξ=0×

1

30

+1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

6

=

9

5

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查利用概率知識解決實際問題的能力，是一個比較好的概率解答題．