Question

已知函數f（x）=2x³+（m-x）³（m∈N^*）．
（1）若x₁，x₂∈（0，m），證明：；
（2）對于任意的，問以f（a），f（b），f（c）的值為邊長的三條線段是否可構成三角形？并說明理由．

Answer 1

（1）證明：由題知．
而．（2分）
又∵x₁，x₂∈（0，m），∴，
∴，（3分）
同理，（5分）
故得．（6分）
（2）解：以f（a），f（b），f（c）的值為邊長的三條線段可以構成三角形．
事實上，因為f（x）=2x³+（m-x）³，所以f'（x）=6x²-3（m-x）²=3x²+6mx-3m²．（7分）
∵當時，f'（x）＞0，
∴f（x）在上是增函數，
∴在處取得最小值，在處取最大值．（9分）
不妨設a≤b≤c，則（11分）
而，
因此以f（a），f（b），f（c）的值為邊長的三條線段可以構成三角形．（13分）
分析：（1）先分別確定左、右函數值，再利用作差法，即可證得結論；
（2）先證明f（x）在上是增函數，再利用兩邊之和大于第三邊，即可確定結論．
點評：本題考查不等式的證明，考查函數的單調性，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．