Question

已知在（

3	x

-

3

3 x

）ⁿ的展開式中，第6項為常數項．
（1）求n；
（2）求含x²的項的系數；
（3）求展開式中所有的有理項．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出通項，令r=5時x的指數為0，求出n．
（2）將n的值代入通項，令x的指數為2，求出展開式中含x²的項的系數．
（3）令通項中x的指數為整數，求出展開式的有理項．

解答：解：（1）通項公式為
T_r+1=C_n^rx

n-r

3

（-3）^rx-

r

3

=C_n^r（-3）^rx

n-2r

3

．
∵第6項為常數項，
∴r=5時，有

n-2r

3

=0，
∴n=10．
（2）令

n-2r

3

=2，
得r=

1

2

（n-6）=2，
∴所求的系數為C₁₀²（-3）²=405．

（3）根據通項公式，由題意，得

10-2r 3 ∈Z 0≤r≤10 r∈N

令

10-2r

3

=k（k∈Z），則10-2r=3k，r=5-

3

2

k．
∵r∈N，∴k應為偶數．故k可取-2，0，2，即r可取2，5，8，
所以第3項、第6項、第9項為有理項，它們分別為：C₁₀²（-3）²x²、C₁₀⁵（-3）⁵、C₁₀⁸（-3）⁸x^-2．

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．