Question

【題目】已知數列的前項和為，，且（），數列滿足，，對任意，都有；

（1）求數列、的通項公式；

（2）令，若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1），；（2）；

【解析】

(1)利用，再寫一式，兩式相減，再利用累乘法即可求數列的通項公式；由題意判斷數列為等比數列，直接寫出通項公式； (2)利用錯位相減法求數列的和，在將不等式轉化為恒成立，構造函數，利用函數的性質，即可確定實數的取值范圍.

(1)因為，所以當時，，兩式相減得，

所以，即，

所以，

滿足上式，故數列的通項公式.

由題意知是以為首項，為公比的等比數列，所以.

(2)因為①，

所以②，

由①②得

所以.

又，所以不等式

即為，即恒成立，

構造函數（），

當時，恒成立，則滿足條件；

當時，由二次函數性質知不恒成立；

當時，由于，則在上單調遞減，恒成立，則滿足條件，

綜上所述，實數的取值范圍是