Question

已知拋物線y²=x+1，定點A（3，1），B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP：PA=1：2，當點B在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程，并指出這個軌跡為那種曲線．

Answer 1

分析：設出點P（x，y）和點B（X，Y），由定比分點公式得到這兩個坐標的關系．即用x，y來表示X，Y．再根據B點在拋物線上，滿足拋物線方程，即可得x，y的關系，亦即軌跡方程，進而進一步判斷曲線類型．

解答：解：設點B的坐標（X，Y），點P的坐標為（x，y），則
x=

X+ 1 2 ×3

1+ 1 2

=

2X+3

3

，y=

Y+ 1 2 ×1

1+ 1 2

=

2Y+1

3

∴X=

3

2

(x-1)，(1)Y=

1

2

(3y-1)，(2)
∵點B在拋物線上，∴Y²=X+1，
將（1），（2）代入此方程，得
[

1

2

(3y-1)]2=

3

2

(x-1)+1
化簡得3y²-2y-2x+1=0，
即x=

3

2

y2-y+

1

2

，
因此軌跡為拋物線

點評：在求解軌跡方程的問題時，一般都是“求什么設什么”的方法，再利用題中的條件列出等式即可得到軌跡方程，這也是高考中學生不易把握的一個知識點．