Question

（2006•崇文區一模）已知數列{a_n}滿足3S_n=（n+2）a_n（n∈N^*），其中S_n為其前n項的和，a₁=2
（I）證明：數列{a_n}的通項公式為a_n=n（n+1）；
（II）求數列{

1

an

}的前n項和T_n；
（III）是否存在無限集合M，使得當n∈M時，總有|Tn-1|＜

1

10

成立，若存在，請找出一個這樣的集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由3S_n=（n+2）a_n，知3S_n-1=（n+1）a_n-1，所以（n+1）a_n-1=（n-1）a_n，

an

an-1

=

n+1

n-1

，

an-1

an-2

=

n

n-2

，

a3

a2

=

4

2

，

a2

a1

=

3

1

．兩端同時求積能夠證明a_n=n（n+1）．
（II） 由

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，知

1

an-1

=

1

n-1

-

1

n

，

1

a2

=

1

2

-

1

3

，

1

a1

=1-

1

2

．兩端同時求和能夠得到數列{

1

an

}的前n項和T_n．
（III）存在無限集合M，使得當n∈M時，總有|Tn-1|＜

1

10

成立．|T_n-1|=|

n

n+1

-1|=

1

n+1

，則n＞9．由此能求出無限集合M．

解答：解：（I）∵3S_n=（n+2）a_n，①
∴3S_n-1=（n+1）a_n-1，②
①-②得：3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，
即（n+1）a_n-1=（n-1）a_n，
則有

an

an-1

=

n+1

n-1

，

an-1

an-2

=

n

n-2

，

a3

a2

=

4

2

，

a2

a1

=

3

1

．
兩端同時求積得：

an

a1

=

n(n+1)

2

，
即a_n=n（n+1）．
（II） 由

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，

1

an-1

=

1

n-1

-

1

n

，

1

a2

=

1

2

-

1

3

，

1

a1

=1-

1

2

．
兩端同時求和得：

1

an

+

1

an-1

+…+

1

a2

+

1

a1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
即T_n=

n

n+1

．
（III）存在無限集合M，使得當n∈M時，
總有|Tn-1|＜

1

10

成立．
|T_n-1|=|

n

n+1

-1|=

1

n+1

，
則|T_n-1|＜

1

10

成立，即n＞9．
所以，取M={10，11，12，13，14，…} 即可．

點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，考查推理論證能力，有一定的探索性，綜合性強，難度大，是高考的重點，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．