Question

如圖，有一邊長為2米的正方形鋼板缺損一角(圖中的陰影部分)，邊緣線是以直線為對稱軸，以線段的中點為頂點的拋物線的一部分．工人師傅要將缺損一角切割下來，使剩余的部分成為一個直角梯形．

（Ⅰ）請建立適當的直角坐標系，求陰影部分的邊緣線的方程;

（Ⅱ）如何畫出切割路徑，使得剩余部分即直角梯形的面積最大？

并求其最大值．

 

Answer 1

【答案】

(I) .(Ⅱ)當時，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.  

【解析】

試題分析：(I)以為原點，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，

依題意

可設拋物線弧的方程為

∵點的坐標為， ∴，

故邊緣線的方程為.

(Ⅱ)要使梯形的面積最大，則所在的直線必與拋物線弧相切，設切點坐標為，   ∵，

∴直線的的方程可表示為，即 ， 由此可求得，.

，   ，

設梯形的面積為，則

. ∴當時，

故的最大值為. 此時.

答：當時，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.  

考點：本題主要考查拋物線在實際問題中的應用以及二次函數的圖象和性質。

點評：解應用題常用的方法是依據題意建立等量關系，構造數學模型利用函數的性質進行求解，而有些應用題有明顯的幾何意義，可以考慮利用解析法根據題意建立適當的坐標系，構造曲線方程，利用曲線的性質進行求解．