Question

（2011•溫州二模）若（x+1）⁵-x⁵=a₀+a₁（x+4）⁴x+a₂（x+1）³x²+a₃（x+1）²x³+a₄（x+1）x⁴，且a₁（i=0，1，…，4）是常數，則a₁+a₃=

15

．

Answer 1

分析：分別求出等式左、右邊展開式的常數項，列出方程求出a₀，分別求出等式左、右邊展開式的一次項，列出方程求出a₁，分別求出等式左、右邊展開式的二次項，列出方程求出a₂，分別求出等式左、右邊展開式的三次項，列出方程求出a₃，求出a₁+a₃的值．

解答：解：據題意：（x+1）⁵-x⁵=a₀+a₁（x+4）⁴x+a₂（x+1）³x²+a₃（x+1）²x³+a₄（x+1）x⁴中，
左式=（x+1）⁵-x⁵=C₅⁰x⁵+C₅¹x⁴+…+C₅⁵x⁰-x⁵=C₅¹x⁴+C₅²x³+C₅³x²+C₅⁴x+1，
分析可得左式中常數項為1，右式中常數項為a₀，則a₀=1；
左式中x的1次項為5，右式中x的1次項為C₅¹，C₅¹=a₁即a₁=5
左式中x的2次項為C₅²，右式中x的2次項為C₄¹a₁+a₂，則C₅²=C₄¹a₁+a₂即4a₁+a₂=10
解可得，a₂=-10
左式中x的3次項為C₅³，右式中x的3次項為C₄²a₁+C₃¹a₂+a₃
則C₅³=C₄²a₁+C₃¹a₂+a₃即10=6a₁+3a₂+a₃
解可得a₃=10
所以a₁+a₃=15
故答案為15．

點評：本題考查二項式定理的應用，難點在于分析右式中x的n次方的系數．