Question

已知向量a=(x²，x+1)，b=(1-x，t).若函數f(x)=a·b在區間(-1，1)上是增函數，求t的取值范圍.

Answer 1

分析：需先求函數f(x)的解析式，再由f′(x)≥0在(-1，1)上恒成立，即可求出t的取值范圍.

解法一：依定義f(x)=x²(1-x)+t(x+1)=-x³+x²+tx+t，

    則f′(x)=-3x²+2x+t.

    若f(x)在(-1，1)上是增函數，則在(-1，1)上可設f′(x)≥0.

∴f′(x)≥0t≥3x²-2x在區間(-1，1)上恒成立.

    考慮函數g(x)=3x²-2x，由于g(x)的圖象是對稱軸為x=，開口向上的拋物線，故要使t≥3x²-2x在區間(-1，1)上恒成立t≥g(-1)，即t≥5.

    而當t≥5時，f(x)在(-1，1)上滿足f(x)＞0，即f(x)在(-1，1)上是增函數.

    故t的取值范圍是t≥5.

解法二：依定義f(x)=x²(1-x)+t(x+1)=-x³+x²+tx+t.

f′(x)=-3x²+2x+t.

    若f(x)在(-1，1)上是增函數.則在(-1，1)上可設f′(x)≥0

∵f(x)的圖象是開口向下的拋物線.

∴當且僅f(1)=t-1≥0，且f(-1)=t-5≥0時，f(x)在(-1，1)上滿足f(x)＞0，即f(x)在(-1，1)上是增函數.

    故t的取值范圍是t≥5.